Το ίντερνετ έχει έναν μαγικό τρόπο να δουλεύει: πρώτα γίνεται κάτι viral, μετά προκαλεί κατακραυγή και στο τέλος έρχονται οι ψυχραιμότεροι να βάλουν τα πράγματα στη θέση τους.
Κι αυτή τη φορά λοιπόν κάτι αντίστοιχο συνέβη. Μια μαθήτρια ρώτησε τη διαχρονική ερώτηση σε ένα βιντεάκι στο TikTok, δημιούργησε σάλο και όταν κόπασαν όλα αυτά, ήταν ώρα να το συζητήσουν οι επιστήμονες.
Τα συγχαρητήρια για τον επιστημονικό διαξιφισμό ανήκουν στη μαθήτρια Gracie Cunningham. Την ώρα που εφάρμοζε το καθημερινό της μακιγιάζ μιλώντας στην κάμερα, αναρωτήθηκε αν τα μαθηματικά είναι αληθινά;
@gracie.hamthis video makes sense in my head but like WHY DID WE CREATE THIS STUFF♬ original sound – gracie
«Ξέρω ότι είναι αληθινά», έσπευσε να διορθώσει, «γιατί όλοι τα μαθαίνουμε στο σχολείο. Αλλά ποιος σκέφτηκε αυτή την ιδέα;», αναρωτήθηκε.
Αφού διακωμώδησε τον… Πυθαγόρα, που ζούσε παλιά (χωρίς να ξέρει πότε ακριβώς), τόσο παλιά «που ούτε υδραυλικά δεν είχε», συλλογίστηκε κατόπιν με ειλικρίνεια από πού προέκυψαν τα μαθηματικά; Ποιος είχε μια τέτοια ανάγκη;
Το βίντεο έφτασε στο Twitter, έγινε viral, συγκέντρωσε πολλά και αρκούντως πικρόχολα σχόλια και κανονικά η ιστορία μας θα τελείωνε εδώ. Όπως συμβαίνει εξάλλου με τόσα και τόσα πράγματα που απασχολούν τη μεγάλη διαδικτυακή κοινότητα.
Κι όμως…
Η κουβέντα στα κοινωνικά μέσα υπέπεσε στην προσοχή του διαπρεπούς καθηγητή εφαρμοσμένων μαθηματικών Steven Strogatz του Cornell, αλλά και του Jordan Ellenberg, καθηγητή μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Ουισκόνσιν.
Σύντομα στην κουβέντα θα έπαιρνε μέρος και ο καθηγητής φιλοσοφίας Philip Goff του βρετανικού Durham University. Το πράγμα δεν ήταν πια αστείο.
Σειρά είχε μετά η μαθηματικός Eugenia Cheng του Art Institute of Chicago, η οποία έγραψε και μια δισέλιδη απάντηση, όπου ισχυριζόταν ότι η μαθήτρια έθεσε πραγματικά και αμείλικτα ερωτήματα για τη φύση των μαθηματικών «με έναν βαθιά διερευνητικό τρόπο».
Όλα αυτά μόνο τυχαία δεν είναι. Εν αγνοία της, η Cunningham επανέφερε ένα πανάρχαιο, άλυτο και ουσιώδες ερώτημα για τη φιλοσοφία της επιστήμης. Τι είναι δηλαδή τα μαθηματικά;
Τα εφηύραμε ή τα ανακαλύψαμε; Κάτι που μας εισάγει στο δεύτερο σκέλος του επίμονου ερωτήματος: είναι οι μαθηματικές έννοιες, οι αριθμοί, οι εξισώσεις, τα θεωρήματα, τα γεωμετρικά σχήματα, τα αξιώματα, υπαρκτές οντότητες ή ανθρώπινες κατασκευές;
Από τη μία έχουμε τους στοχαστές που βλέπουν τις μαθηματικές σχέσεις ως υπαρκτές. Είναι «εκεί έξω» και περιμένουν απλώς να ανακαλυφθούν από τον άνθρωπο. Αυτή η σχολή σκέψης αντλεί τη ρητορεία της από τον πλατωνισμό.
Ήταν ο Πλάτωνας αυτός που θεώρησε πως τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένα όντα που υπάρχουν στην πραγματικότητα.
Ο μαθηματικός πλατωνισμός, όπως αναφέρεται συχνά, μιλά για μαθηματικές ιδέες που κατοικούν σε έναν δικό τους κόσμο, όχι τον φυσικό δικό μας κόσμο, αλλά σε μια υπερβατική σφαίρα αμετάβλητης τελειότητας («σφαίρα του είναι») που υφίσταται πέρα από τον χώρο και τον χρόνο.
Υποστηρικτές του μαθηματικού πλατωνισμού ήταν ονόματα-σταθμοί στην ιστορία της επιστήμης, όπως ο Ράσελ, ο Φρέγκε και ο Γκέντελ. Στα πιο πρόσφατα, αυστηρός πλατωνιστής είναι ο σερ Ρότζερ Πένροουζ.
Στο μνημειώδες «The Emperor’s New Mind», γράφει χαρακτηριστικά πως μοιάζει «να υπάρχει κάποια πρόδηλη αλήθεια σε αυτές τις μαθηματικές ιδέες, που προχωρούν πέρα από τις διανοητικές έρευνες ενός συγκεκριμένου μαθηματικού».
Και δεν είναι λίγοι οι μαθηματικοί που θα προσυπέγραφαν θερμά μια τέτοια θέση. Όσο ανακαλύπτουμε συνεχώς νέα πράγματα στα μαθηματικά, μοιάζει σαν αυτά να ήταν πάντα εκεί και να περίμεναν απλώς να τα δούμε. Σαν αιώνιες αλήθειες, ανεξάρτητα και πέρα από μας.
«Πιστεύω πως ο μόνος τρόπος να βγάλουν νόημα τα μαθηματικά είναι να πιστέψεις πως είναι αντικειμενικές μαθηματικές αλήθειες, τις οποίες ανακαλύπτουν οι μαθηματικοί», μας λέει ο διακεκριμένος καθηγητής φιλοσοφίας της επιστήμης James Robert Brown, «οι μαθηματικοί είναι υπερβολικά πλατωνιστές, χωρίς να αποκαλούν πάντα τους εαυτούς τους πλατωνιστές».
Ο πλατωνισμός δεν είναι ωστόσο ο καθολικός τρόπος να βλέπεις την επιστήμη. Αν ρωτήσεις άλλους ακαδημαϊκούς, ή επιστήμονες άλλων κλάδων, θα δεις ότι αντιμετωπίζουν τον πλατωνισμό με δυσπιστία. Ή τουλάχιστον με σκεπτικισμό.
Πολλοί επιστήμονες τείνουν να είναι εμπειριστές. Προσλαμβάνουν τον κόσμο ως πράγματα και σχέσεις που μπορούμε να βιώσουμε, να νιώσουμε, πράγματα για τα οποία μπορούμε να μάθουμε περισσότερα μέσω παρατήρησης και πειράματος.
Η ιδέα ότι κάτι είναι προαιώνιο και υφίσταται σε μια σφαίρα πέρα από τον χώρο και τον χρόνο τούς κάνει να νιώθουν άβολα. Ο στυγνός εμπειριστής θα συγκρίνει τον πλατωνισμό με τον τρόπο που ένας πιστός πιστεύει στην ύπαρξη του Θεού. Και θα σου πει μετά πως ο Θεός έχει εξοβελιστεί εδώ και πολύ καιρό από τις έρευνες της επιστήμης.
Για όσους αρνούνται την προαιώνια αλήθεια των μαθηματικών οντοτήτων, τα μαθηματικά δεν είναι παρά δημιουργήματα του νου. Ένα παιχνίδι συμβόλων, καλύτερα, που περιμένουν απόδειξη, έλεγχο και, γιατί όχι, αναθεώρηση.
Όπως το θέτει καλύτερα ο μαθηματικός Brian Davies, ο πλατωνισμός «έχει πιο πολλά κοινά με μυστικισμούς και θρησκείες παρά με τη σύγχρονη επιστήμη». Σε αυτό το μονοπάτι δεν είναι μόνος, πολλοί μαθηματικοί θεωρούν τον πλατωνισμό εγγενώς προβληματικό για τη μαθηματική σκέψη.
«Αν η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος ισχύει πέρα από τον χώρο και τον χρόνο», γράφει ο καθηγητής φιλοσοφίας του City University της Νέας Υόρκης, Massimo Pigliucci, «τότε γιατί όχι και θρησκευτικές πεποιθήσεις, όπως η θεϊκή φύση του Ιησού Χριστού;».
Οι πλατωνιστές έχουν κι άλλες φιλοσοφικές προκλήσεις να ξεπεράσουν. Αν τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν δική τους ζωή σε άλλες σφαίρες, τότε πώς φτάνουμε να γνωρίσουμε κάτι γι’ αυτά εδώ, στη δική μας διάσταση;
Πειστική απάντηση δεν φαίνεται να έχουν εδώ οι πλατωνιστές, άνθρωποι πάντως όπως ο Brown θα σου πουν πως προσλαμβάνουμε τις μαθηματικές αλήθειες με τον ίδιο τρόπο που ο Γαλιλαίος ή ο Αϊνστάιν συνέλαβαν φυσικές αλήθειες: διαισθητικά. Μέσω «νοητικών πειραμάτων», όπως τα λένε χαρακτηριστικά.
Νοητικά πειράματα, εννοιολογικές κατασκευές δηλαδή, που προηγήθηκαν των πραγματικών πειραμάτων που απέδειξαν τις θεωρίες τους. Χωρίς να κάνει κάτι, ο Γαλιλαίος σκέφτηκε πως βαριά και ελαφριά αντικείμενα πρέπει να πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό.
Με τον ίδιο τρόπο, ένας μαθηματικός μπορεί να αποδείξει πως το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες χωρίς να πρέπει να μετρήσει τις γωνίες όλων των τριγώνων. Ούτε καν ενός τριγώνου. Μόνο έναν έξυπνο νου χρειάζεσαι, μας λέει ο Brown.
Η συζήτηση στη φιλοσοφία των μαθηματικών στρέφεται και στον ίδιο τον ορισμό των αφηρημένων εννοιών. Υπάρχουν αφηρημένες έννοιες, θα σου πει ο πλατωνιστής, με τον ίδιο τρόπο που υπάρχουν και τα φυσικά αντικείμενα του κόσμου μας.
Το ίδιο το αξίωμα εξάλλου, η λογική αρχή, είναι μια πρόταση που δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται προφανής απόφανση ή τέλος πάντων αποτέλεσμα μιας μεθοδολογικής απόφασης. Το αξίωμα είναι δεδομένο.
Τα μαθηματικά είναι σε αυτή την αναθεωρημένη εκδοχή του πλατωνισμού ένα σύνολο κανόνων που προκύπτουν από αρχικές υποθέσεις που έχουμε θεωρήσει καταρχήν αληθείς. Αξιώματα δηλαδή, απ’ όπου συνάγονται άλλες αληθείς προτάσεις. Εδώ ωστόσο τα μαθηματικά μοιάζουν σαν εφεύρεση, παρά σαν ανακάλυψη.
Η ακραία εκδοχή αυτής της σχολής σκέψης θεωρεί τα μαθηματικά σαν παρτίδα σκάκι. Φτάνει να γράψει κανείς τους γενικούς κανόνες ώστε να προκύψουν άπειρες στρατηγικές παιχνιδιού που να εναρμονίζονται με τις αρχικές αποφάσεις.
Αν όμως τα μαθηματικά δεν είναι παρά σχέσεις που δημιουργούμε εμείς στο κεφάλι μας, γιατί ανταποκρίνονται τόσο εξαιρετικά στα πράγματα που παρατηρούμε στον φυσικό μας κόσμο; Γιατί μια αλυσιδωτή αντίδραση στην πυρηνική φυσική ή ένα μοντέλο πληθυσμιακής αύξησης στη βιολογία αναπαρίστανται άριστα ως μια εκθετική συνάρτηση;
Και γιατί η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται διαρκώς στα μοτίβα των ηλιοτροπίων, των σαλιγκαριών, των τυφώνων, ακόμα και στους σπειροειδείς γαλαξίες; Γιατί, με δυο λόγια, έχουν αποδειχτεί τόσο χρήσιμα τα μαθηματικά στην περιγραφή του φυσικού κόσμου;
Ήταν ο νομπελίστας θεωρητικός φυσικός Γιουτζίν Γουίγκνερ αυτός που τόνισε στη δεκαετία του 1960 αυτή την εξαιρετικά πρακτική διάσταση των μαθηματικών, ονομάζοντας χαρακτηριστικά τη μνημειώδη εργασία του «Η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες».
Ο αμερικανός επιστήμονας κατέληξε πως η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στην επίλυση προβλημάτων άλλων επιστημών είναι «ένα υπέροχο δώρο, που ούτε καταλαβαίνουμε ούτε αξίζουμε»!
Απάντηση υπάρχει σήμερα στο παράδοξο Γουίγκνερ, όπως αναφέρεται συχνά. Τα μαθηματικά αξιώματα δεν επιλέγονται τυχαία, απαντούν, αλλά επιλέγονται ως αληθείς προτάσεις ακριβώς επειδή έχουν να κάνουν με τον τρόπο που δουλεύει ο φυσικός κόσμος.
«Η καλύτερη απάντηση που μπορώ να δώσω στο ερώτημα Γουίγκνερ», μας λέει ο Pigliucci, «είναι πως αυτή η ‘‘παράλογη αποτελεσματικότητα’’ είναι στην ουσία πολύ λογική, γιατί τα μαθηματικά είναι στην πραγματικότητα δεμένα στον φυσικό κόσμο και έτσι ήταν από την αρχή».
Παραπέμπουν μάλιστα στην ευκλείδεια γεωμετρία για να αποδείξουν τον συλλογισμό τους. Ένας ταγμένος πλατωνιστής δεν μπορεί παρά να ισχυριστεί ότι οι αλήθειες της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι οικουμενικές και αναλλοίωτες. Όλοι ξέρουμε όμως πια πως κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Τα αξιώματά της έχουν εφαρμογή μόνο στις δεδομένες συνθήκες βαρύτητας της Γης.
Ακόμα καλύτερα, φτάνοντας τη συζήτηση στο ζουμί της, τι είναι οι ίδιοι οι φυσικοί αριθμοί (1, 2, 3, 4 κ.λπ.); Για τους περισσότερους από μας, και σίγουρα για έναν πλατωνιστή, οι φυσικοί αριθμοί μοιάζουν… φυσικοί. Είναι εκεί και ισχύουν είτε τους δούμε είτε όχι.
Για μια μεγάλη μερίδα μαθηματικών ωστόσο ακόμα και αυτοί δεν είναι παρά μαθηματικές κατασκευές. Ζούμε σε έναν κόσμο που έχουμε πράγματα για μέτρημα, πέτρες, δέντρα, ανθρώπους. Κι έτσι τα μετράμε. Αν ζούσαμε όμως σε έναν άλλο φυσικό κόσμο, πες μέσα στα σύννεφα, τότε η θεωρία των ρευστών θα ήταν πολύ πιο σημαντική για την καθημερινότητά μας.
Τα μαθηματικά δουλεύουν επειδή έτσι ακριβώς τα έχουμε φτιάξει. «Είναι σαν να ρωτάς γιατί ένα σφυρί δουλεύει τόσο καλά στο κάρφωμα καρφιών. Είναι γιατί το έχουμε φτιάξει γι’ αυτόν τον σκοπό!», διαμαρτύρεται ο Pigliucci.
Αυτή η σχολή σκέψης φτάνει ως το σημείο να βλέπει τα μαθηματικά σαν μυθιστορηματικές κατασκευές. Χρήσιμες μυθιστορηματικές κατασκευές. Πλάσματα της ανθρώπινης επινοητικότητας είναι εδώ οι μαθηματικές αλήθειες, που συμβαίνει να διατηρούν «απλώς» μια σχέση με τα πράγματα του φυσικού μας κόσμου.
Κι έτσι τελικά τα μαθηματικά δεν είναι παρά ένα βοηθητικό εργαλείο για την επιστήμη. Και μιας και έχουν φτιαχτεί για να συνδράμουν την επιστήμη, αυτό που κάνουν είναι να συνδράμουν την επιστήμη.
Τελεσίδικες απαντήσεις δεν υπάρχουν. Ούτε θα υπάρξουν πιθανότατα στο προσεχές μέλλον. Η ανθρωπότητα συζητά εξάλλου αυτά τα θέματα εδώ και τουλάχιστον 2.300 χρόνια.
Η απορία της μαθήτριας δεν ήταν καθόλου αφελής. Τα ερωτήματα που θέτει σε αυτό το βίντεο, όσο κάνει το μακιγιάζ της ναι, συμπυκνώνουν εντός τους όλη τη θεωρητική σκέψη για τα μαθηματικά. Το ίδιο αναρωτιούνται σπουδαίοι μαθηματικοί και μεγάλοι φιλόσοφοι εδώ και αιώνες. Απλώς δεν βάφονται όσο το κάνουν…