Λιώστε το βούτυρο σε ένα μικρό τηγάνι ή κατσαρολάκι.
Αλείψτε με λίγο από το λιωμένο βούτυρο τη μία πλευρά κάθε φέτας ψωμιού.
Ψήστε το ψωμί στο grill μέχρι να πάρει χρώμα.
Εν τω μεταξύ, ρίξτε το αλεύρι στο υπόλοιπο λιωμένο βούτυρο ανακατεύοντας συνεχώς πάνω από χαμηλή φωτιά, για 1 περίπου λεπτό.
Προσθέστε σιγά σιγά το γάλα ανακατεύοντας και μόλις το μείγμα πήξει αποσύρετε από τη φωτιά και προσθέστε την wholegrain μουστάρδα, το θυμάρι και 30 γρ. από το τριμμένο τυρί.
Απλώστε πάνω σε δύο από τις ψημένες φέτες ψωμιού (από την εσωτερική πλευρά που δεν είχε βούτυρο) τη μουστάρδα ντιζόν.
Τοποθετήστε πάνω τους το ζαμπόν και ρίξτε το υπόλοιπο τριμμένο τυρί. Κλείστε τα σάντουιτς με τις άλλες δύο φέτες ψωμιού.
Επικαλύψτε τα τοστ με τη μπεσαμέλ που έχετε φτιάξει και ψήστε τα για άλλα περίπου 5 λεπτά στο grill, μέχρι να πάρουν χρώμα.
Σε ένα τηγάνι, βάλτε λίγο ελαιόλαδο να κάψει και τηγανίστε τα αβγά.
Βάλτε από ένα αβγό μάτι πάνω σε κάθε σάντουιτς και ολοκληρώστε με λίγο ακόμα φρέσκο θυμάρι.
