Βάζετε σε μια κατσαρόλα το μισό λάδι και όταν ζεσταθεί ρίχνετε τις μπάμιες και τις σοτάρετε σε μέτρια προς δυνατή φωτιά για περίπου 4 λεπτά, ανακατεύοντας απαλά με κουτάλα με προσοχή να μη διαλυθούν.
Σβήνετε με το ξίδι και μετά από 1 λεπτό πασπαλίζετε με τη ζάχαρη. Ρίχνετε και το κρεμμύδι και σοτάρετε για λίγα λεπτά ακόμα.
Αποσύρετε από τη φωτιά και αδειάζετε το μείγμα σε ένα μεσαίο ταψί.
Προσθέτετε το σκόρδο, αλατοπιπερώνετε και περιχύνετε με την ντομάτα και 1½ φλιτζάνι τσαγιού ζεστό νερό.
Σκεπάζετε καλά με αλουμινόχαρτο και ψήνετε το φαγητό για περίπου 40-45 λεπτά.
Ξεσκεπάζετε το ταψί, σκορπίζετε το τυρί, περιχύνετε με το υπόλοιπο ελαιόλαδο και συνεχίζετε το ψήσιμο για περίπου 15 λεπτά, μέχρι να λιώσει ελαφρώς η φέτα και να γκρατιναριστεί το φαγητό.